Метод Эйлера на C++

См. также метод Эйлера-Коши на С++

Будем рассматривать дифференциальное уравнение вида

y'=f(x,y),     (1)

где f(x,y) — заданная непрерывная функция в области D.

Задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию

(x0)=y0,     (2)

называется задачей Коши.

Метод Эйлера

Пусть требуется найти решение задачи Коши (1)-(2) на отрезке [a,b].

Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками xi=a+i·h, где i=0,1,,n,h=ban. Заменяя в уравнении (1) производную разностным отношением, получим
y1y0h=f(x0,y0).

Перепишем последнее уравнение в виде
y1=y0+h·f(x0,y0).

Повторяя этот процесс, получим приближенное решение задачи (1)-(2).

Таким образом, итерационная формула метода Эйлера имеет вид
xi+1=a+i·h,   yi+1=yi+h·f(xi,yi),   i=0,1,,n.

Пример. Решить методом Эйлера дифференциальное уравнение y'=3sin2y+x с начальным условием y(0)=2 на отрезке [0,1] с шагом h=0,1.

Решение.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double F(double x, double y){
	return 3*sin(2*y)+x;
}

int main() {
	double a=0; double b=1; double h=0.1;
	double n=(b-a)/h;
	double X[(int)n]; double Y[(int)n];
	X[0]=a; Y[0]=2;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		X[i]=a+i*h;
		Y[i]=Y[i-1]+h*F(X[i-1],Y[i-1]);
	}
	for(int i=0; i<=n; i++){
		cout << "X["<<i<<"]="<<X[i] <<" ";
	}
	cout << endl;
	for(int i=0; i<=n; i++){
		cout << "Y["<<i<<"]="<<Y[i] << " ";
	}
	return 0;
}


Результат:

X[0]=0 X[1]=0.1 X[2]=0.2 X[3]=0.3 X[4]=0.4 X[5]=0.5 X[6]=0.6 X[7]=0.7 X[8]=0.8 X[9]=0.9 X[10]=1 
Y[0]=2 Y[1]=1.77296 Y[2]=1.66494 Y[3]=1.62879 Y[4]=1.62407 Y[5]=1.63217 Y[6]=1.64544 Y[7]=1.66082 Y[8]=1.6771 Y[9]=1.6938 Y[10]=1.71074


См. также метод Эйлера-Коши на С++
  • avatar
  • 0

0 комментариев

Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.