См. также метод Эйлера на С++ и Метод Эйлера-Коши на C++



Будем рассматривать дифференциальное уравнение вида

y'=f(x,y), (1)



где f(x,y) — заданная непрерывная функция в области D.



Задача нахождения решения этого уравнения, удовлетворяющего начальному условию



(x0)=y0, (2)



называется задачей Коши. Метод Рунге-Кутты Пусть требуется найти решение задачи Коши (1)-(2) на отрезке [a,b].



Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками



xi=a+i·h , где



i=0,1,,n,h=ban



Методы Эйлера и Эйлера-Коши являются частными случаями метода Рунге-Кутты. На практике наиболее распространенным является метод Рунге-Кутты четвертого порядка. Расчетные формулы этого метода имеют вид



xi+1=a+ih, y1i+1=hf(xi,yi), y2i+1=hf(xi+h2,yi+y1i+12), y3i+1=hf(xi+h2,yi+y2i+12), y4i+1=hf(xi+h,yi+y3i+1), yi+1=yi+16(y1i+1+2y2i+1+2y3i+1+y4i+1). Пример. Решить методом Рунге-Кутты 4-го порядка дифференциальное уравнение y'=3sin2y+x с начальным условием y(0)=2 на отрезке [0,1] с шагом h=0,1. Решение.




//============================================================================
// Name        : runge.cpp
// Author      :
// Version     :
// Copyright   :
// Description :
//============================================================================

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double F(double x, double y){
        return 3*sin(2*y)+x;
}

int main() {
        double a=0; double b=1; double h=0.1;
        double n=(b-a)/h;
        double X[(int)n];
        double Y1[(int)n];
        double Y2[(int)n];
        double Y3[(int)n];
        double Y4[(int)n];
        double Y[(int)n];
        //calculate
        X[0]=a; Y[0]=2;
        for(int i=1; i<=n; i++){
                X[i]=a+i*h;
                Y1[i]=h*F(X[i-1],Y[i-1]);
                Y2[i]=h*F(X[i-1]+h/2.0,Y[i-1]+Y1[i]/2.0);
                Y3[i]=h*F(X[i-1]+h/2,Y[i-1]+Y2[i]/2);
                Y4[i]=h*F(X[i-1]+h,Y[i-1]+Y3[i]);
                Y[i]=Y[i-1]+(Y1[i]+2*Y2[i]+2*Y3[i]+Y4[i])/6;
        }
        //print results
        for(int i=0; i<=n; i++){
                cout << "X["<<i<<"]="<<X[i] <<" ";
        }
        cout << endl;
        for(int i=0; i<=n; i++){
                cout << "Y["<<i<<"]="<<Y[i] << " ";
        }
        return 0;
}


См. также метод Эйлера на С++ и Метод Эйлера-Коши на C++